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FACEBOOKに投稿していた物理・数学の記事を少しずつ当ブログに移していきます。
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■FaceBook(2019年4月21日投稿)

20年ぐらい前に買ったカルキングという数式編集ソフトをこの間Windows10にインストールしてみました。
当時Windows98用だったので、インストール、動作が心配だったのですが今の所ちゃんと動いてます。
このソフトは数式編集だけではなく、数値計算や2D、3Dグラフ描画も可能です。

以下はその一例です。
以前はよく使用中に突然落ちることが多かったので、だいぶ前から使うのを止めてました。
でもOSが最新の所為か、落ちる頻度が激減した感じがします。
...とはいってもグラフ描画でサンプリングを増やすとあり得ないプロットを打ったり、2Dでも極座標描画ができないとかやはり難点はあります。

数値計算の機能を使って3/24投稿の積分値を再計算してみました。
すると...全然値が違う!
焦りました、C言語で組んだプログラムが間違えていたのか...?
さっきまでその理由を探していました。
よく見ると、3/24投稿の図は変数変換時に掛け算される2/${\pi}$を書き忘れていました。
20190421.jpg

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■FaceBook(2019年4月20日投稿)

今週は傾斜因子の導出まで終わりました。
Kirchhoffの積分定理(前々回投稿の式)を小孔の回折に適用すると「ごく自然に」 傾斜因子=1+cosθ が導出できました。

前進波の進行方向がθ=0なので、この結論が包絡線に後進波が存在しない理由です。かなりスッキリした気分です。

* * * * *

実は波動って、「自分にとって」未解決な問題がたくさんある分野です。
①例えば3/24に投稿したダイポールアンテナの放射抵抗の計算ですが、無条件にアンテナの共振状態を仮定しています。
進行波なら観測点の電磁界が変動してしまい計算が困難になるからだと思いますが、1次元の波の反射は素元波の包絡線というイメージを使えないと思います。しかし現実にアンテナを流れる電流は共振している.....
導体が端部で切れたらそこで単純に折り返すと考えていいのか?

②また3/10に投稿した波長以下の穴を通過できないことを、Kirchhoffの積分定理を使って表すこともできるはず(...っていうかその方がより厳密な証明だと思います)。
しかしスリットではなく、丸孔や矩形の孔の回折の計算はかなり複雑なようです。

③望遠鏡の分解能の計算の仕方がまだわかっていない。
幅の広いスリットの回折像は強く狭くなるのがヒントになるかと思いますが、②の丸孔の回折の計算とも関係がありそうです。

などなど.....やりたいこといっぱいあるんですが、時間と根気、重い腰を如何に上げるか...そういう方面の問題もあります。

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■FaceBook(2019年4月18日投稿)

【現象論的xxx】
何年か前、ネット上に「流体力学は現象論的である」という旨の記事が目に入りました。読んでみましたがあまりよくわからず.....でも何となく心に残る話でした。

最近、昔から読んでいる相対論の本の目次に「現象論的電磁気学の相対論的書換え」なる章があるのを思い出しました。
あらためてその章を読むと、書かれているのは真空中の電磁気学に対する物質中の電磁気学.....
なんか...流体力学と電磁気学が「現象論」という言葉で部分的に繋がったような気がしました。

現象論的とは何か、まだ自分の言葉にはできていません。
でも...すると、例えば物体同士の衝突を反発係数eを使って扱うこと、これも現象論的だと感じます。

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■FaceBook(2019年4月13日投稿)

今週は傾斜因子の再勉強で終わりました。

...と言っても帰宅後、1hぐらい(すぐ眠くなる)。
また昔と同じようなところで引っかかりましたが、少し進みました。

ストーリーはこうです.....
前回投稿した球表面の「輪帯」、球表面は波面、輪帯は素元波(2次波)の発生源です。
(輪帯を想定すると計算が楽になるので)

ネタ本該当章の前半では観測点をPとして、
①Pで測定される球面波は
②輪帯から生じる2次波の積分値
に等しいことがサラッと書かれてます。
その後に、Pで観測される波動と2次波の関係が数学的に説明されてます。

* * * * *

ここで引っかかったのは、①②から数学的な話への急な飛躍です。
で、昨日出勤途中に歩きながら思いついたのは、まずサラッと書かれている①=②は
これが所謂「包絡線としての波面=素元波の干渉」を指しているのではないか?ということです。

あとは①=②を公理として数学的な操作...
.....そういう展開なんだなと感じました。

* * * * *

高校物理のホイヘンスの原理は図上の視覚的なものですが、数学的な表現では以下のような感じになります。
昔からこの式、本では見てはいました。でもホイヘンスの原理がなんでこうなるの?という他人事のような気持でした。
遅ればせながらやっと数学的に(少なくとも導出だけは)分かりました。
(でも...まだなにか誤った解釈をしている箇所があるかもしれません)

* * * * *

今回、数式は「カルキングver.5」で書いてみました。
古いソフトなのでWindows10へのインストールが心配でしたがOK、動作もここまでは大丈夫でした。

傾斜因子までまだ少し道のりがあります。
20190413.jpg

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■FaceBook(2019年4月6日投稿)

この間から素元波の傾斜因子について再度勉強してます。

その中で素元波の2次波の伝搬源として、1次波の表面に仮想的に波長幅で想定した「輪帯」という領域を仮定します。
そこに出てくる式が分からなくて数日間同じページを見ていたら、頭から離れなくなってしまいました。

本に載っていたのは上の2次元的図です。頭の中で勝手に下図のように3Dにしています。
3D-CADの勉強を兼ねて作図してみました。

ネタ本「光学の原理Ⅱ」マックス・ボルン著 
草川徹・横田英嗣 訳 東海大学出版会
20190406.jpg

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■FaceBook(2019年4月2日投稿)

素元波の包絡線がなぜ後進波にならないのか?

これを説明するために 傾斜因子=1+cosθ なる関数の導入が波動の所に出てきます。これがかなり手強い.....10年ぐらい前に勉強しましたが途中でやめていました。
今回、もう一度やり直してます。

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■FaceBook(2019年3月30日投稿)

【サウナの100℃】

熱力学はサボってきたのであまり大したことは書けません。
十何年か前、職場でサウナの100℃は耐えられるのに水の100℃(お湯)は耐えられないのはどうしてか、これが話題になったことがあります。その時は上手い説明が見つかりませんでした。
それから暫くたって次のような(定性的ですが)説明を試みました。

理由は空気と水の熱容量の違いです。
100℃の空気中に体温36℃の人間が入ってくると、周囲の空気は人体に熱を奪われ温度が下がります。
空気は熱容量が小さいので、人体から離れた場所でも温度は低下していると考えられます。
つまり温度勾配が緩く、人体付近では温度の低下が大きい。

それに対して水(お湯)の場合はその逆で、熱容量が大きいから人体に熱を奪われても温度の変化が小さい。
人体付近では少しは温度が低下しますが、温度勾配は急になります。
熱い風呂の中でじっとしていればそうでもないのに、動くと熱く感じるのは人体周囲の温度低下層が撹拌されるからだと考えられます。
20190330.jpg


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■FaceBook(2019年3月24日投稿)

【放射抵抗 75Ω】

テレビのアンテナなどに接続する同軸ケーブルの特性インピーダンスは75Ωとなっています。
この根拠は真空の放射抵抗がこの値にほぼ近いからですが、それを求める問題が参考書に出ていました。

学生時代にちょっと触れただけのその計算を再度やり直しました。
やってみると昔は手を抜いていたようで、今回はかなり手古摺りました。

* * * * *
 いきなり球座標の遅延ポテンシャルで微小電流の放射電界を求める計算から入ります。
近似計算と変数変換を何度か行い、微小電流を半波長に流れる電流として任意の点Pの電界Epを再計算します。
最後に放射電界の単位面積を通過するエネルギーを求めてそれを球面で積分します。
そうすると電流と電力の比が分かるので、仮想的な放射抵抗が求められるというストーリーです。

* * * * *
 途中まではほぼ計算を目で追えました。しかし最後の最後に出てくる積分(図のS)、式の意味は分かるのですが、定積分の値がわからない.....
不定積分が分からない.....家にある書籍をたくさん調べました。
類似の計算はまったく見つかりません。
 
* * * * * 

 もう根負けしてパソコンで計算しました(右辺はPCによる計算値)。
プログラムミスを何度も修正して、最終的に
放射抵抗=73.12962Ω が得られました。

昨日これをやって終わったのは午前1時ごろ....
こんなに根詰めたのは久しぶりでした!

[参考書]
共立出版株式会社 「詳解 電磁気学演習」P-351~356
20190324.jpg

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■FaceBook(2019年3月16日投稿)

【1次元の波】
以前思ったことです。
最近の子供たちがこれ遊んでいるのを殆ど見たことがありませんが、糸電話って思った以上に声が良く聞こえます。

考えてみるとこの玩具、文字通り一次元の波動方程式の解
u=F(x-vt)+G(x+vt) 
で声が伝わりますので、2次元や3次元の解に付く1/r、1/r$^2$、1/r$^3$ が無いです。だからよく聞こえるんですね。

光ケーブルも1次元的に光が伝搬しているのでしょうか...?

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■FaceBook(2019年3月10日投稿)

【波は波長λよ小さな穴を通過できない?】

ちょっと当たり前すぎる話かもしれません。
以前、電子機器のEMI(不要電磁放射)対策をやっていたことがあります。
ある周波数の放射が問題になっている時、金属で囲まれた発振回路に周波数調整用のネジを回す穴が開けられているのを見た私は、その穴から不要放射が漏れているんじゃないかと提案しました。
しかしそのその案は即却下されました。理由はそんな小さな穴を、電磁波が通過できないからということでした。

それからしばらく(10年ぐらいかそれ以上)、なぜ小さな穴を電磁波が通過できないか疑問に思ってました。
でもこれは電磁波に限らず、波動一般の現象だと気付きました。
要するに通過する穴の幅Lが狭いと素元波は通過できますが、その素元波が強め合う位相2${\pi}$(1波長)分だけの経路差が生じないからだと考えました。
調べた範囲が狭い所為だと思いますが、書物ではこの現象について書かれているのを見たことがありません。
20190310.jpg

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■FaceBook(2019年3月3日投稿)

ガンマー線の話題がきっかけで、単純な計算をしてみました。

電子-陽電子の対消滅で0.511MeVのガンマー線が2方向に放射されるらしいですが、このエネルギーはほぼ正確に電子対の質量の和を E=mc${^2}$ で換算した値になってますねー...ちょっと感動ものです!

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■FaceBook(2019年3月2日投稿)

電磁気学の復習、少しずつ始めてます。

電磁界(E,H)を使った方程式を、ポテンシャル(A,φ)で書き換える時、Lorentz条件にC${^2}$という係数が出てきます。
私はいつもこれがCだったかC${^2}$だったか迷ってしまいます。
今回は以下のような簡単な次元解析で、教科書に戻らず求めました。

そもそもポテンシャルで方程式を書くと、なんでこんな条件が出てくるのか改めて考えてみました。
(A,φ)は(E,H)に対する不定積分のようなものなので、どうしても任意関数が生じてしまうのですね。
それを扱いやすい形にしたのがLorentz条件だと思います。
20190302.jpg

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■FaceBook(2019年2月23日投稿)

統計力学によく出てくるStirlingの公式を証明しようとして...うまくいきませんでした。でも、ちょっとした式変形で(1)のような式が出てきました。

電卓でn=100、200、1000 の場合を計算したら、自然対数の底 e(=2.71828...)にかなり近い数になりました。
ひょっとして私が知らなかっただけで、既に知られた式なのかも...?

【追記】
①電卓での計算結果
n= 100:2.63227
n= 200:2.67022
n=1000:2.70642
n=3000:2.71401

②Stirlingの公式は、対数の積分公式から簡単に証明ができることをFBのグループの方から教えていただきました。

20190223.jpg


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■FaceBook(2019年2月16日投稿)

【テルミン】
音楽のセンスは全く無いのですが、テルミンという楽器が好きです。
最古の電子楽器と言われているようです。
この楽器から伸びるアンテナの側で、まるで指揮者のように手を動かして演奏する奏者はとても魅力的です。
原理は手とアンテナ間の距離を変えることで、人体とアンテナ間の静電容量が変わり発振周波数が変わることを利用しています。

しかし、この原理がどうも理解できませんでした。
静電容量と言うと右図のような回路素子としてのコンデンサーをイメージしてしまいます。
テルミンの場合、人体が回路にどう組み込まれるのか"?"でした。
人体はテルミン回路と共通のアースのようなものに繋がっているわけでもなく、素子としての働きがイメージできなかったからです。

しかし、よく考えると例えばアンテナにマイナス電荷が集まれば、かざした手にはプラス電荷が集まります。
人体の表面の電子は手とは反対方向に逃げます。
この時、手とアンテナ間の電界は明らかに変動してますから、電束電流が流れます。
なので人体は確かにテルミンの回路の一部になってますね。
20190216.jpg
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Author:SRI所員
...
1970年代の自転車をこよなく愛する(一応現行のロードバイクにも乗る)。
SRIとは Science Research Institute...
ではなく以下の略号である。

S:過ぎ去った時代の...
R:レトロな自転車だって...
I:良いもんですよー!

大昔は競技者目指して走っていた。
今はサイクリング専門で走っている。
でも追い抜かれると、いい歳こいてメラメラ燃えてはその度に己が実力を思い知る。

■勉強のモチベーションを維持するため、
FACEBOOK に投稿していた数学・物理の記事を、2019年6月から当ブログにアップすることにしました。

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